杨辉三角：揭秘数学中的美丽与规律

杨辉三角：数学中的美丽图案

杨辉三角，这个名字听起来可能有点陌生，但如果你学过数学，你一定见过它。它也被称为贾宪三角，在西方被称为帕斯卡三角。这个三角形最吸引人的地方在于它与二项式展开式的系数规律紧密相关。看看第三行第三个数，它恰好对应着两数和的平方公式，这只是冰山一角。

杨辉三角的核心特征是它的两条斜边都是由数字1组成的，而其余的数则是它上方两个数之和。这听起来简单，但却蕴含着丰富的数学规律。

杨辉是宋代的一位著名数学家，他不仅总结了民间乘除捷算法，还在“垛积术”、纵横图以及数学教育方面做出了重大贡献。他是世界上第一个排出丰富的纵横图并讨论其构成规律的数学家，还曾论证过弧矢公式，被称为“辉术”。与秦九韶、李冶、朱世杰并称为“宋元数学四大家”。他的主要数学著作包括《详解九章算法》、《日用算法》、《乘除通变本末》、《田亩比类乘除捷法》和《续古摘奇算法》，这些著作在朝鲜、日本等国也有译本出版，影响深远。

杨辉三角的性质真是让人着迷。德国数学家、哲学家莱布尼茨就是通过类比杨辉三角（他们称为帕斯卡三角）发现了单位分数三角形，这为他建立微积分提供了思路和启发。他在信中提到，这使他发现“求切线不过是求差，求积不过是求和”。

让我们来看看杨辉三角的具体性质吧：

• 每个数等于它上方两数之和。这就像一个接力赛，每个数字都是由前两个数字传递过来的。
• 每行数字左右对称，从1开始逐渐变大。这就像一个对称的艺术品，充满了和谐之美。
• 第n行的数字有n项。这就像一个规律的序列，每增加一行，就多一个数字。
• 前n行共[(1+n)n]/2个数。这就像一个数学游戏，每增加一行，数字的总数就按这个规律增加。
• 第n行的m个数可表示为C(n-1，m-1)，即从n-1个不同元素中取m-1个元素的组合数。这就像一个组合游戏，每个数字都有它的组合意义。
• 第n行的第m个数和第n-m+1个数相等，这是组合数的一个性质。这就像一个镜子，数字在对称的位置上相等。
• 每个数字等于上一行的左右两个数字之和。这就像一个递归的过程，每个数字都是由前一行的数字计算出来的。即C(n+1,i)=C(n,i)+C(n,i-1)。
• (a+b)n的展开式中的各项系数依次对应杨辉三角的第(n+1)行中的每一项。这就像一个魔法，每个系数都可以在杨辉三角中找到对应。
• 将第2n+1行第1个数，跟第2n+2行第3个数、第2n+3行第5个数……连成一线，这些数的和是第4n+1个斐波那契数；将第2n行第2个数(n>1)，跟第2n-1行第4个数、第2n-2行第6个数……这些数之和是第4n-2个斐波那契数。这就像一个隐藏的宝藏，杨辉三角中竟然藏着斐波那契数列的秘密。
• 将第n行的数字分别乘以10^(m-1)，其中m为该数所在的列，再将各项相加的和为11^(n-1)。这就像一个神奇的计算器，每行数字都能生成一个11的幂次方。
• 第n行数字的和为2^(n-1)。这就像一个简单的规律，每行数字的和都是2的幂次方。
• 斜线上数字的和等于其向左（从左上方到右下方的斜线）或向右拐弯（从右上方到左下方的斜线），拐角上的数字。这就像一个迷宫，每条斜线上的数字都有自己的规律。
• 将各行数字左对齐，其右上到左下对角线数字的和等于斐波那契数列的数字。这就像一个隐藏的密码，杨辉三角中竟然藏着斐波那契数列的秘密。

所以，高考中涉及杨辉三角的考点是非常重要的，也是命题者特别喜欢出题的题目之一。看看这些图，你是不是也想试着解一解呢？

有兴趣的同学可以试着做一做，不会的欢迎留言交流。数学的世界真是充满了惊喜和乐趣啊！